Algebraische Topologie Homologie und Mannigfaltigkeiten
Dies ist ein neues und modernes Lehrbuch über Topologie. Hauptgegenstand des Buches sind Homologie-, Kohomologietheorien und Mannigfaltigkeiten. Die ersten acht Kapitel geben eine Einführung in die "Algebraische Topologie": es werden Begriffe wie Homologie, CW-Komplexe, Produkte und Poinca...
| Main Author: | |
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| Format: | eBook |
| Language: | German |
| Published: |
Wiesbaden
Vieweg+Teubner Verlag
2005, 2005
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| Edition: | 1st ed. 2005 |
| Series: | vieweg studium; Aufbaukurs Mathematik
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| Subjects: | |
| Online Access: | |
| Collection: | Springer eBooks 2005- - Collection details see MPG.ReNa |
Table of Contents:
- 14.3 Die Mayer-Vietoris-Sequenz für die de Rham-Kohomologie
- 14.4 Die multiplikative Struktur auf der de Rham-Kohomologie
- 14.5 Aufgaben
- 15 Der Satz von de Rham
- 15.1 Glatte singulare Koketten
- 15.2 Glatte Kohomologietheorien
- 15.3 Die de Rham-Abbildung.
- 15.4 Der Beweis des Satzes von de Rham
- 15.5 Verträglichkeit mit den multiplikativen Strukturen
- 15.6 Der Satz von Hodge-de Rham
- 15.7 Aufgaben
- 16 Anhang
- 16.1 Topologische Räume
- 16.2 Die Teilraumtopologie
- 16.3 Stetige Abbildungen
- 16.4 Kompaktheit
- 16.5 Zusammenhang
- 16.6 Das 2. Abzählbarkeitsaxiom
- 16.7 Die Summe von topologischen Räumen
- 16.8 Das Produkt von topologischen Räumen
- 16.9 Homotopie
- 16.10 Identifizierungen
- 16.11 Kategorien
- 16.12 Funktoren und Transformationen
- 16.13 Aufgaben
- Notation
- 1 Homologie
- 1.1 Die Axiome einer Homologietheorie
- 1.2 Folgerungen aus den Axiomen
- 1.3 Elementare Berechnungen
- 1.4 Elementare Anwendungen
- 1.5 Aufgaben
- 2 Singulare Homologie
- 2.1 Kettenkomplexe
- 2.2 Konstruktion der singulären Homologie
- 2.3 Beweis der Homotopieinvarianz für singuläre Homologie
- 2.4 Beweis der Ausschneidung für singuläre Homologie
- 2.5 Skizze der Konstruktion von Bordismustheorie
- 2.6 Die erste singuläre Homologie und die Fundamentalgruppe
- 2.7 Aufgaben
- 3 CW-Komplexe
- 3.1 CW-Komplexe
- 3.2 Abbildungen zwischen Sphären und ihre Abbildungsgrade
- 3.3 Der zelluläre Kettenkomplex assoziiert zu einer Homologietheorie
- 3.4 Homologische Berechnungen mit Hilfe des zellulären Kettenkomplexes
- 3.5 Eindeutigkeit der Homologie für CW-Komplexe
- 3.6 Simpliziale Komplexe und simpliziale Homologie
- 3.7 Aufgaben
- 4 Euler-Charakteristik und Lefschetz-Zahlen
- 4.1 Euler-Charakteristik für endliche Kettenkomplexe
- 4.2 Euler-Charakteristik für endliche CW-Komplexe
- 4.3 Die universelle Eigenschaft der Euler-Charakteristik
- 4.4 Lefschetz-Zahlen für endliche Kettenkomplexe
- 4.5 Lefschetz-Zahlen für endliche CVF-Komplexe
- 4.6 Lefschetz-Zahlen und Euler-Charakteristiken auf Mannigfaltigkeiten
- 4.7 Aufgaben
- 5 Kohomologie
- 5.1 Die Axiome einer Kohomologietheorie
- 5.2 Singuläre und zelluläre Kohomologie
- 5.3 Die Axiome einer multiplikativen Struktur
- 5.4 Der Kohomologiering projektiver Räume
- 5.5 Das Cup-Produkt für CVF-Komplexe
- 5.6 Aufgaben
- 6 Homologische Algebra
- 6.1 Der Fundamentalsatz der homologischen Algebra
- 6.2 Der Tor-Funktor
- 6.3 Der Ext-Funktor
- 6.4 Das universelle Koeffiziententheorem für Homologie
- 6.5 Das universelle Koeffiziententheorem für Kohomologie
- 6.6 Die Künneth-Formel für Homologie
- 6.7Der Satz von Eilenberg und Zilber
- 6.8 Die Künneth-Formel für Kohomologie
- 6.9 Die Bockstein-Sequenz
- 10.1 Konstruktionen von Vektorräumen
- 10.2 Das Dach-Produkt von alternierenden Multilinearformen
- 10.3 Kanonische Isomorphismen
- 10.4 Determinante und Spur
- 10.5 Skalarprodukte und Orientierungen
- 10.6 Spezielle Basen
- 10.7 Aufgaben
- 11 Parametrisierte Lineare Algebra
- 11.1 Konstruktionen von Vektorraumbündeln
- 11.2 Riemannsche Metriken und Orientierungen
- 11.3 Orientierungen auf Mannigfaltigkeiten
- 11.4 Aufgaben
- 12 Differentialformen
- 12.1 Definition einer Differentialform
- 12.2 Das Dach-Produkt von Differentialformen
- 12.3 Die äußere Ableitung
- 12.4 Integration von Differentialformen
- 12.5 Die Volumenform
- 12.6 Aufgaben
- 13 Der Satz von Stokes
- 13.1 Mannigfaltigkeiten mit Rand
- 13.2 Der Satz vonStokes
- 13.3 Anwendungen des Satzes von Stokes
- 13.4 Aufgaben
- 14 De Rham-Kohomologie
- 14.1 Definition der de Rham-Kohomologie
- 14.2 Homotopieinvarianz der de Rham-Kohomologie
- 6.10 Direkte Systeme und direkte Limiten
- 6.11 Inverse Systeme und inverse Limiten
- 6.12 Homologie und Ausschöpfungen
- 6.13 Kohomologie und Ausschöpfungen
- 6.14 Aufgaben
- 7 Produkte
- 7.1 Liste der verschiedenen Produkte
- 7.2 Natürlichkeit
- 7.3 Assoziativität
- 7.4 Kommutativität
- 7.5 Eins-Elemente
- 7.6 Verträglichkeit mit Randoperatoren
- 7.7 Relationen zwischen den Produkten
- 7.8 Konstruktion der Produkte
- 7.9 Die Hopf-Invariante
- 7.10 Der Satz von Borsuk-Ulam
- 7.11 Aufgaben
- 8 Dualität
- 8.1 Orientierung
- 8.2 Der Abbildungsgrad
- 8.3 Kohomologie mit kompaktem Träger
- 8.4 Poincaré-Dualität
- 8.5 Poincaré-Dualität und die Euler-Charakteristik
- 8.6 Schnittformen
- 8.7 Jordanscher Trennungsatz
- 8.8 Aufgaben
- 9 Glatte Mannigfaltigkeiten und ihre Tangentialbündel
- 9.1 Glatte Strukturen
- 9.2 Der Tangentialraum
- 9.3 Vektorraumbündel
- 9.4 Das Tangentialbündel
- 9.5 Aufgaben
- 10 Elementare Lineare Algebra