Topologie und Analysis Einführung in die Atiyah-Singer-Indexformel
| Main Author: | |
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| Format: | eBook |
| Language: | German |
| Published: |
Berlin, Heidelberg
Springer Berlin Heidelberg
1977, 1977
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| Edition: | 1st ed. 1977 |
| Series: | Hochschultext
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| Subjects: | |
| Online Access: | |
| Collection: | Springer Book Archives -2004 - Collection details see MPG.ReNa |
Table of Contents:
- 2. Differential Operatoren über Mannigfaltigkeiten. Motivation. Ltifferenzierbare Mannigfaltigkeiten — Grundbegriffe. Geometrie derC?-Abbildungen. Integration auf Mannigfaltigkeiten. Differentialoperatoren auf Mannigfaltigkeiten. Berandete Mannigfaltigkeiten
- 3. Pseudodifferentialoperatoren. Motivation. Kanonische Pseudodifferentialoperatoren. Pseudodifferentialoperatoren auf Mannigfaltigkeiten. Näherungsrechnung für Pseudodifferentialoperatoren
- 4. Sobolewräume (Steilkurs). Motivation. Definition. Die Hauptsätze über Sobolewräume. Fallstudien
- 5. Elliptische Operatoren über geschlossenen Mannigfaltigkeiten. Stetigkeit von Pseudodifferentialoperatoren. Elliptische Operatoren
- 6. Elliptische Randwertsysteme I (Differentialoperatoren). Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten. Systeme von Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten. Variable Koeffizienten
- 7. Elliptische Differential Operatoren 1. Ordnung mit Randbedingungen. Die topologische Bedeutung von Randwertbedingungen (Fallstudie). Verallgemeinerungen (heuristisch)
- 8. Elliptische Randwertsysteme II (überblick). Das Poissonprinzip. Die Greensche Algebra. Der elliptische Fall
- III. Die Atiyah-Singer-Indexformel
- 1. Einführung in die algebraische Topologie (K-Theorie). Umlaufzahlen. Die Topologie der allgemeinen linearen Gruppe. Der Ring der Vektorraumbündel. K-Theorie mit kompaktem Träger. Beweis des Periodizitätssatzes von R. Bott
- 2. Die Indexformel im euklidischen Fall. Indexformel und Bottperiodizität. Das Differenzbündel eines elliptischen Operators. Die Indexformel
- 3. Die Indexformel für geschlossene Mannigfaltigkeiten. Die Indexformel. Vergleich der Beweise: Der Kobordismus-Beweis. Vergleich der Beweise: Der Einbettungsbeweis. Vergleich der Beweise: Der Wärmeleitungsbeweis
- 4. Anwendungen (Übersicht). Kohomologische Fassung der Indexformel. Der Systemfall (triviale Bündel). Beispielefür verschwindenden Index. Eulerzahl und Signatur. Vektorfelder auf Mannigfaltigkeiten. Abelsche Integrale und Riemannsche Flächen. Der Satz von Riemann-Roch-tiirzebruch. Der Index elliptischer Randwertprobleme. Reelle Operatoren. Die Lefschetzsche Fixpunktformel. Analysis auf symmetrischen Räumen. Weitere Anwendungen
- Anhang: Was sind Vektorraumbündel?
- Literatur
- Symbolverzeichnis
- Namenverzeichni
- I. Operatoren mit Index
- 1. Fredholmoperatoren. Hierarchie mathematischer Objekte. Begriff des Fredholmoperators
- 2. Algebraische Eigenschaften. Operatoren von endlichem Rang. Das Schlangenlemma:. Operatoren von endlichem Rang und die Fredholmsche Integralgleichung
- 3. Analytische Methoden. Kompakte Operatoren. Analytische Methoden. Der adjungierte Operator. Kompakte Operatoren. Die klassischen Integraloperatoren
- 4. Die Fredholmalternative. Das Rieszsche Lemma. Das Sturm-Liouvillesche Randwertproblem
- 5. Die Hauptsätze. Die Calkinalgebra. Störungstheorie. Homotopieinvarianz des Index
- 6. Familien von invertierbaren Operatoren. Satz von Kuiper. Homotopien von operatorwertigen Funktionen. Der Satz von Kuiper
- 7. Familien von Fredholmoperatoren. Indexbündel. Die Topologie von F. Die Konstruktion des Indexbündels. Der Satz von Atiyah-Jänich. Homotopie und unitäre Äquivalenz
- 8. Fourierreihen und -integrale (Zusammenstellung der Grundbegriffe). Fourierreihen. Fourierintegral. Höherdimensionale Fourierintegrale
- 9. Wiener-Hopf-Operatoren. Das Beispielreservoir für Fredholmoperatoren. Herkunft und prinzipielle Bedeutung der Wiener-Hopf-Operatoren. Die Kennlinie eines Wiener-Hopf-Operators. Wiener-Hopf-Operatoren und harmonische Analyse. Die diskrete Indexformel. Der Systemfall. Kontinuierliches Analogon
- II. Analysis auf Mannigfaltigkeiten
- 1. Partielle Differentialgleichungen. Lineare partielle Differentialgleichungen. Elliptische Differentialgleichungen. Wo kommen elliptische Differentialgleichungen vor. Randwertbedingungen. Hauptfragen der Analysis und das Indexproblem. Numerische Aspekte. Elementare Beispiele